开场故事：一眼看出错误

弟弟小龙在做作业，题目是解一元二次方程2×2+9x-35=0，费了一番功夫后，弟弟完成了这道题目。

哥哥小明走过来，看了一眼弟弟的作业本。弟弟解得方程的两个根是x?=-5，x?=7/2。哥哥说“你做错了”。咦，这么厉害，哥哥是怎么看出来的？

想知道哥哥怎么能够一眼看出弟弟的错误，就必须知道威力巨大的韦达定理。

韦达定理闪亮登场

教科书把韦达定理称为一元二次方程根与系数的关系，也就是下面的结论：

韦达定理 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x?，x?，那么

怎么证明韦达定理呢？先看证明1，利用求根公式来证明。

证明二(利用方程的根的意义)：

因为x?，x?是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，所以

这个证明的构思和论证过程都很巧妙。证明可以分为两个部分，第一部分论证两根之和与系数的关系，第二部分论证两根之积与系数的关系。上图所示是证明的第二部分，第一行运用了完全平方公式，第三行用到了(1)式和(2)式的恒等变形，后面的论证用到了第一部分得出的结论，最后巧妙地完成了漂亮的证明。

现在我们知道哥哥为什么一眼看出弟弟的错误了，这是韦达定理的应用之一。

如果弟弟解出来的两根是正确的，应有

所以哥哥用心算立即知道弟弟算错了。

韦达和韦达定理的逆定理

我们知道，一个正确命题的逆命题可真可假，韦达定理的逆命题是否正确呢？如果不正确，可以举一个反例来推翻，如果正确，则必须严格加以证明。我们反方向推导一下。

假设实数x?和x?满足

那么

这说明x?是方程的一个根，同理可证x?也是方程的一个根。于是，我们证明了韦达定理的逆命题也是正确的，我们称之为韦达定理的逆定理，即我们有以下结论：

韦达定理的逆定理 如果实数x?和x?满足

那么x?和x?是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。

韦达

弗朗索瓦·韦达(Franciscus Vieta，1540-1603)，法国数学家，十六世纪最有影响力的数学家之一，被尊称为“代数符号之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析引论》《论方程的整理与修正》《有效的数值解法》等方程论著作，其中包括给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。

数学符号系统化首先归功于数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。韦达因为创立了代数学的常用符号，被称为代数符号之父。他在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，人们把这个关系称为韦达定理。

他把符号性代数称作“类的算术”,同时规定了算术与代数的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数.这就使代数成为一般类型的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛。韦达的这种做法受到后人的赞赏,并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德的《实用分析术》所继承，特别是后者的著作使采用数学符导的风气流行起来，对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡尔完成的。

一般而言，如果一个定理以一个人的名字命名，那么，不仅仅是纪念这位数学家，肯定他的贡献，往往也因为这个定理很重要，有广泛的应用。韦达定理就是这样一个定理，它那简单的形式中包含了丰富的数学内容，下面我们就通过例题来叙述它的一些应用。

构造二次方程的问题

例1 已知一元二次方程的两根为2/3和-5/2，求出这个方程。

解 设所求的方程为x2+px+q=0，则由韦达定理可知

p=-[2/3+(-5/2)]=11/6，

q=2/3 × (-5/2)=-5/3

故由韦达定理的逆定理可知所求方程为

x2+11/6 x + (-5/3)=0

即 6×2+11x-10=0

例2 已知一元二次方程的两根为2和7，求出这个方程。

韦达发现了代数方程的多项式分解因式解法。对于二次方程而言，本题所求方程可改写成

(x-x?)(x-x?)=0

即 (x-2)(x-7)=0

运用整式乘法展开可得

x2-7x-2x+14=0

合并同类项，所求方程为

x2-9x+14=0

用韦达定理解法如下：

设所求的方程为x2+px+q=0，则由韦达定理可知

p=-(2+7)=-9，q=2×7=14

故由韦达定理的逆定理可知所求方程为

x2-9x + 14=0

已知两根和积关系求两根

例3 已知两数和为14，两数积为44，求这两个数。

解法一(韦达定理的逆定理)

解 把这两个数看成一元二次方程的两根，那么由韦达定理的逆定理可知，这个方程就是

x2-14x+44=0

用求根公式解方程可得

解法二(恒等式)

七年级同学不知道韦达定理，也能够用乘法公式解题。注意到下面的恒等式

(a+b)2=(a-b)2+4ab

数a和b有加法，减法和乘法三种关系，上面的恒等式告诉我们，两数的这三种关系可以知二求一。求出减法关系后，就可以用小学的和差问题算法求出这两个数。

把题目的已知条件代入上面的乘法公式，得

142=(a-b)2+4×44

移项

(a-b)2=196-176

两边开平方得

a-b=2√5

所以

a=(14+2√5)÷2=7+√5

b=(14-2√5)÷2=7-√5

不过七年级同学没有学二次根式，所以需要修改一下题目，才能让七年级同学解题。怎样修改呢？

构造有整数解的二次方程

已知方程x2-14x + 44=0没有整数解，怎样修改题目，使修改后的方程有整数解？

我们需要找到一个适当的整数，把原方程一次项系数加上这个整数，常数项乘上这个数，得到的新方程就一定有两个整数解。于是，我们把问题转化为下面的问题了：

求整数k的问题1 任意给出一个二次项系数为1的整系数一元二次方程x2+px+q=0(p和q为整数)，求整数k，使方程x2+(p+k)x+qk=0有两个整数解。

对这个问题，我们可以用韦达定理来分析。因为x?和x?是新方程的两根，所以有

x?+x?=-(p+k)，x?x?=qk……(方程组1)

如果我们找到的k满足从(方程组1)可得到整数x?和x?，那么由韦达定理的逆定理可知，新方程有整数解。

于是上面的问题就转化为下面的问题：

求整数k的问题2 求整数k，满足从(方程组1)可得到整数x?和x?，即(方程组1)有关于k，x?和x?的整数解。

顺便说一下：善于把要解决的问题不断地进行转化，直到化生为熟，化难为易，是解决任何数学问题的最基本，最重要的思想方法之一，希望同学们重视培养自己这种转化问题的能力。

(方程组1)有两个方程，却有3个未知数，这样的方程组称为不定方程组。不定方程组可能有整数解，也可能没有整数解，有整数解时解也可能不唯一。

为解决原问题，我们只需要求出(方程组1)的一组整数解即可。我们不妨用实验法去找它的一组解，先假设k是偶数，于是x?x?=qk有一组解

求出k，x?和x?之后，我们得到了问题1的一个答案，即下面的结论：

定理 任意给出一个二次项系数为1的整系数一元二次方程x2+px+q=0(p和q为整数)，取整数k=4q-2p，则方程x2+(p+k)x+qk=0有两个整数解。

有上面的定理，我们可以把方程x2-14x + 44=0改为

x2+(-14+204)x+44×204=0，即

x2+190x+8976=0

解方程得两根为-102和-88，是整数解。

注意，问题1的答案不唯一。举个例子，取k=-14-?×44=-36，则原方程可修改为新方程

x2+(-14-36)x+44×(-36)=0，即

x2-50x-1584=0，

解方程得两根为-22和72，是整数解。

求满足限制条件的系数

例题4 问m取何值时，方程x2-(m-2)x+(m2-2)=0有两个互为倒数的实数根。

解 设方程有两个实根x?和x?，它们互为倒数得

x?x?=1，由韦达定理得x?x?=m2-2，所以有

m2-2=1，所以m=±√3

其次，因为方程有实数根，所以有

Δ=(m-2)2-4(m2-2)=-3m2-4m+12≥0，以m=√3代入，得

Δ=-3(√3)2-4(√3)+12=-4√3+3<0

所以m=√3舍去；

以m=-√3代入，得

Δ=-3(-√3)2-4(-√3)+12=4√3+3>0

∴ m=-√3是所求的值。

注意 本题很容易遗漏Δ≥0这一条件，同学们注意避免掉坑。

曹则贤谈一元二次方程

2021年12月29日-31日，由中国科学院科学传播局主办，中国科学院物理研究所、抖音承办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2022跨年科学演讲”在北京举行。

12月31日晚19:30，中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《从一元二次方程到规范场论》，央视创造传媒艺术副总监王雪纯受邀担任现场主持。

从一元二次方程到规范场论里面到底有哪些内容呢？大家比较熟悉的一元二次方程，它其实是一个平方项和线性项这两个怎么凑到一起的问题，是二次和一次型怎么加的问题，所以最难理解的问题恰恰是加法，现在你知道做加法不容易了吧。

当二次项系数a=1时，方程就只有b和c两个参数，韦达定理变得更简单了，用配方法求根，公式如下图：

现在深入研究一下一元二次方程，把一元二次方程改成x2-bx+c=0，为什么这么改呢？这是因为这么改的时候x、b和c都可以理解成长度，就可以用几何法研究这个方程了。

我们看研究x2+bx+c=0这个方程，你会注意到，如果一个方程有两个根的话，永远可以把方程写成

(x-x?)(x-x?)=0的形式，这才是一元二次方程。那么这个方程的标准形式为

x2-s?x+s?=0。

你会发现这里的符号很有意思，就是+、-、+、-，交替出现了，请大家记住交替是重要的东西。由以上可知，x?+x?=s?，x?x?=s?。我从 x?+x?和 x? x?，就一定能得出 x?-x?。有了 x?+x?和 x?-x?，就可以得出 x?、x?各自的表达式。于是我们知道一个方程根 x?、x?应该由它本身来表达——

请记住不是加减，是正负，代数方程里面没有减法，请同学们一定记住。

这个方程就很有意思了，很多人不明白这个道理，你看我求的方程是两个根，怎么用它本身来表达，你在绕我吗？不对，这个道理我是没弄明白，我发现金融界的人士就明白了，他们用明天可以挣到的钱，在今天挣你的钱，这个哲学可重要了。

用根自身来表示，这是一种哲学的转变，我用要被寻找的根来表示这个根。如果大家再不明白这个道理的话，就是参照一下金融行业人员，他们一直都是这样干的，用他们明天才会拥有的钱，今天来挣你的钱，只有这样的话我们才能理解金融学，我们也才能理解什么是一元二次方程，这些东西没教，不着急，接下来往下说。

……

以上图片和文字摘编自曹老师的演讲。接下来我们来体会和品味这个求根公式。

玄妙：玄之又玄，众妙之门

让我们再次凝视这个公式。尼采说：当你在凝视深渊时，深渊也正在凝视你。辛弃疾也说过类似的话：我见青山多妩媚，料青山见我应如是。 所以，当我们凝视这个公式时，公式也在凝视着我们。

曹先生的PPT很漂亮，上面的求根公式给人的第一感就是玄妙。

这个公式和韦达定理堪称绝配或天仙配。公式中的未知数是方程的两根，其余的就是常数和运算符号。公式用到的两根关系比较明显的是两根之和以及两根之积，不明显的是两根之差的关系。

而韦达定理告诉了我们两根之和与积，所以上面的求根公式配合韦达定理，可以解方程。

上面的求根公式正确无比。根号部分是两根之差。为什么呢？七年级同学知道乘法公式：

(a+b)2=(a-b)2+4ab，所以根号部分是两根之差。

知道了一个公式，也就得到了许多的变式。举个例子，请看下图：

乘法公式的变式，揭示了a和b的三种关系之间的联系，著名的恒等式

再仔细看求根公式，其实公式的框架就是小学的和差问题公式(某个零件用到了上面的恒等式的常见形式)：

大数=(和+差)÷2

小数=(和-差)÷2

中学数学老师则是把和差问题看成二元一次方程组来处理。

上图的乘法公式是恒等式，和差问题公式也是正确的，所以PPT显示的求根公式当然正确无比。

求根公式的启示：当我们深情地凝视求根公式时，求根公式也含情脉脉地对我们倾诉衷肠。一元二次方程有两个根，这两个根是等价的，虽然在历史上这两个根之一常常受到不公平的对待。例如“代数之父”花拉子密不承认负根，“代数符号之父”韦达也不承认负根。虽然中国人早就在《九章算术》的年代就坦然接受负数，但是欧洲人花了几百年时间才承认负数。

这两个根互相依靠而存在，一个都不能少。少了一个，这个求根公式也就是皮之不存，毛将焉附？何止是这个求根公式，少了一个根，韦达定理也无处安放。

最后，我们来玩一个填数游戏，并以此结束本文。

最后一个游戏

小光和小红两个人在玩填数游戏。他们轮流在下面的一元二次方程的系数空白处填入一个非零整数：

(____)x2+(____)x+(____)=0

当三个括号里的非零整数填写完毕后，若所得方程有两个整数解，则小光获胜，反之，则小红获胜。谁先填数由掷硬币决定。问：①请证明先填数字的人必胜。②怎样填数才能确保先填必胜？

三张图片后为大家呈现答案解析。

本题有多种解法，下面仅给出一种解法。

如果小光先填数，那么在二次项系数处填整数1，等待小红填数。如果小红在常数项填整数a，那么小光在一次项系数处填整数1+a，这时方程有两个整数解-1和-a，小光获胜。

如果小红在一次项系数处填整数a，那么小光就在常数项括号填整数a-1，还是小光获胜。

如果小红先填数，则先在二次项系数处填整数1，等待小光填数。不管小光在哪个括号里面填数a，小红都在另外一个括号里面填一个适当的整数b，使得b2-4a(或a2-4b)不是一个整数的平方，那么，所得方程没有整数解，小红获胜。

知识链接：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，a,b,c均为整数）（*）有两个整数解的充要条件即是：

【定理】方程（*）有两个整数解的充要条件是：

b2-4ac=m2（m是整数），且b，c均能被a整除。

上图是笔者准备在大年三十早晨5时至7时(卯时)贴在大门的春联。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。给大家拜年啦，祝新春快乐，兔年大吉！